| Epistemowikia Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber Segunda Época, Año VII Vol. 6, Núm. 4: de octubre a diciembre de 2012 (en curso) | Epistemowikia es parte de
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Ejercicios y problemas sobre cardinalidad/Avance
De Epistemowikia
Versión editable. Versión estática 1.0: Ejercicios y problemas sobre cardinalidad |
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| Enunciados primeros aquí. Las soluciones y otros enunciados son aportaciones de la comunidad. |
P1
Demostremos que si A y B son equipotentes, entonces, también lo son 2A y 2B.
Sol.: Ser A y B equipotentes equivale a que existe una aplicación biyectiva de A en B. Sea f tal aplicación. Un camino para demostrar que 2A y 2B también lo son, sería definir una aplicación biyectiva g, entre ellos. ¿Por qué no intentamos definir g a partir de f?
P2
Demostremos que el conjunto de todos los números algebraicos es numerable.
Sol.: El conjunto de todos los números algebraicos es el conjunto de todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes enteros.
P3
Sea X un conjunto cualquiera y F(X) el conjunto de funciones características (o indicadoras) trivaloradas, F(X)={fA:X→{0,1/2,1} t.q. A⊆X y fA(x)=0 si x∉A, 1 si x∊A, 1/2 si no sabemos si x∊A ó si x∉A}. ¿Son equipotentes 2X y F(X)?
Sol.: O sea que tendremos que definir una aplicación biyectiva entre 2X y F(X), ¿no?
Sol 2: está claro que hay que definir una aplicación biyectiva, ya que dos conjuntos son equipotentes si y solo si se establece entre ellos una biyección. Ahora bien, podemos partir de la idea de que a cada subconjunto de 2X le corresponde su función característica. Ahora habría que demostrar que eso es una biyección.
P4
Si definimos una palabra como una cadena finita de letras de un alfabeto infinito numerable. Demostremos que todos y cada uno de los siguientes conjuntos son numerables:
a) palabras de dos letras;
b) palabras de tres letras;
c) palabras de n letras (n fijo y entero positivo);
d) todas las palabras de longitud finita.
Sol.:...
P5
Por conjunto finito entendemos todo aquél para el que no puede establecerse una biyección con ningún subconjunto propio suyo. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, en 1912, definen conjunto finito de la siguiente forma: «dados un conjunto A, y un subconjunto U de 2A (su conjunto potencia), se dice que U es una familia inductiva de conjuntos de A, si y sólo si, el conjunto vacío está en U y para todo X de U, y para todo y de A, también ocurre que la unión de X con {y} está en U. Entonces, decir que A es un conjunto finito, equivale a decir, que A pertenece a cualquier familia inductiva de subconjuntos suyos. Si no es finito, se dice que es un conjunto infinito.» ¿Son equivalentes ambas definiciones?
Sol.:...
P6
Sean A y B dos conjuntos, no necesariamente disjuntos. ¿Cómo construimos, a partir de ellos, dos conjuntos A* y B*, disjuntos.
Sol.: A*=A-B; B*=B-A
P7
Sean:
A={x∊ℝ/-1≤x≤2}
B={x∊ℝ/0≺x≺3}
C={x∊ℤ/-1≤x≤1}
Se pide calcular: A∪B, A∩C, B∩C
Sol.: A∪B=[-1,3), A∩C={-1,0,1}, B∩C={1}
P8
Sea ℝ el conjunto universal, se pide calcular:
[0,3]∩[2,6];
[0,3]-[2,6];
Complementario de [0,3];
[0,3]∪[2,6];
[0,3]∆[2,6];
[0,3]∩∅;
Sol.: [0,3]∩[2,6]=[2,3]
[0,3]-[2,6]=[0,2)
Complementario de [0,3]=(-∞,0)∪(3,+∞)
[0,3]∪[2,6]=[0,6]
[0,3]∆[2,6]=[0,2)∪(3,6]
[0,3]∩∅=∅
P9
Demostrar que ∀A,B los conjuntos A-B, A∩B y B-A forman una partición de A∪B
P10
Demostrar:
A-∅=A;
A-A=∅;
A∆B=∅ ⇔ A=B;
(A-B)=A ⇔ A∩B=∅ ⇔ A∪ A-∅=A;
A-A=∅;
A∆B=∅ ⇔ A=B;
(A-B)=A ⇔ A∩B=∅;
a) A-∅=A
A-∅ = A∩ ∁∅(complementario de ∅)= A∩U(conjunto universal)= A
b)A-A=∅
A-A = A∩∁A = ∅
c)A∆B=∅ ⇔ A=B
A∆B=∅ = A∩B-A⋃B = A∆B Para demostrar la equivalencia hay que demostrar la igualdad de conjuntos A=B, suponindo cierta la hipotesis.
Suponemos cierto A∆B=∅ y demostramos A=B por reduccion al absurdo:
A≠B ⇒ {∃x, x∊A ⋀ x∉B ⋁ ∃y, y∉A ⋀ y∊B}
Si x está en A ⇒ ∃x, x∊ A-B ⇒ ∃x, x∊(A-B)⋃ (B-A) =A∆B≠∅ Si y está en B ⇒ ∃x, y∊ A-B ⇒ ∃y, y∊(A-B)⋃ (B-A) =A∆B≠∅ Esta es la contradiccion que queriamos llegar, por tanto A≠B es falso , luego A=B es verdadero como queriamos demostrar.
d)(A-B)=A ⇔ A∩B=∅
Como en el caso anterior hay que demostrar la equivalencia demostrando A∩B=∅.Suponemos cierto (A-B)=A para ∃x, x∊A :
(A-B)=A ⇒A∩B=∅ : A∩B = {∃x, x∊A ⋀ x∊B}⇒ {∃x, x∊A∩B}
Para que A∩B=∅ se tiene que {∃x, x∉A ⋀ x∉B}⇒A∩B=∅⇒A≠B
Por lo tanto se cumple la equivalencia.
Temas relacionados
Bibliografía
- ¡El capítulo 7 (Cardinales) del libro de Máximo Anzola y José Caruncho, Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos, consta de 62 problemas resueltos muy adecuados!
INDEX
- EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)
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