Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año VII
Vol. 6, Núm. 4: de octubre a diciembre de 2012 (en curso)
Epistemowikia es parte de
Logotipo de CALA Virtual
CALA → ALA | Communitas | Evolvere
Editio | Epistemowikia | Exercitatio | Fictor | Flor
Epistemowikia no se hace responsable ni se identifica necesariamente con el contenido ni las opiniones expresadas por sus colaboradores.
La Universidad de Extremadura no se hace en ningún caso responsable de los contenidos publicados en Epistemowikia.
La Asociación Conocimiento Comunal (CONOMUN) no se hace en ningún caso responsable de los contenidos publicados por terceros.
Inicio | La revista | Índex | Hemeroteca | Búsquedas | Quiénes somos | Contacto | Publica

Ejercicios y problemas sobre conjuntos abiertos y cerrados

De Epistemowikia

Versión estática 1.0
Versión editable de este artículo: Ejercicios y problemas sobre conjuntos abiertos y cerrados (Avance)

P1

Demuestra que cualquier subconjunto del espacio métrico discreto (E,dd) es abierto y cerrado.

P2

Demuestra que toda bola abierta (resp., cerrada) es un conjunto abierto (resp., cerrado).

P3

Sea (E,d) un espacio métrico y A ⊆ E. Demuestra que A es abierto si y sólo si A es unión de bolas abiertas.

P4

ℕ, ℙ, ℤ, ⅅ y ℚ, ¿qué son, abiertos, cerrados..., en (ℝ,d2)? Demuestra las respuestas.

P5

El conjunto de los bytes terminados en 1, ¿cómo es en ({0,1}8,dH), abierto, cerrado...? (dH es la métrica de Hamming)

P6

Un bit puede tomar valores de {0,1}. Un fit n-ario (o n-fit) puede tomar valores de {0,1,...,n-1} (conjunto que suele notarse ℤn). Un fit binario (un 2-fit) es un bit. Un n-fyte es una cadena de 8 n-fits. La distancia de Levenshtein, también conocida como distancia de edición, que notaremos dℒ, se usa a menudo en teoría de la información para medir disimilitudes entre cadenas de caracteres. ¿Es dℒ una métrica en el espacio de los n-fytes? ¿Alguna idea gráfica ―en (ℝ2,d2) o (ℝ3,d2)― de la forma geométrica de sus bolas cerradas?

P7

Sea un espacio métrico (E,d). Demuestra que todo subconjunto finito de E es cerrado. ¿Es abierto todo subconjunto infinito?

P8

Sea el espacio métrico (ℕ, d2).
1) Sea x∊ℕ; halla la bola abierta B(x, r≤1), con r∊ℝ+, y las bolas B(x, n∊ℕ+) y B[x, n∊ℕ+].
2) Demuestra que ∀ x∊ℕ, {x} es abierto y cerrado.

P9

Si llamamos discretos a aquellos conjuntos donde cada elemento tiene predecesor, sucesor, o ambos, entonces, demuestra que, cualquier conjunto discreto, en cualquier espacio métrico, es cerrado.

P10

Sea el espacio métrico ([0,1] ∪ [2,3], d2).
1) Halla las bolas B(1, 1/2), B[1, 1/2] y B(1, 1+1/2).
2) Demuestra que ∀ x∊ℕ, {x} es abierto y cerrado de (ℕ, d2).

P11

Demuestra que {1+1/n: n∊ℕ+} no es ni abierto ni cerrado en (ℝ, d2).

P12

Utilizando el hecho de que la unión numerable de abiertos es abierto, demuestra que:
1) ∀a∊ℝ, los intervalos abiertos (a, →) y (←,a) son conjuntos abiertos en (ℝ,d2)
2) la intersección de una familia cualquiera de cerrados es cerrado.

P13

Demuestra que la intersección de una familia cualquiera de abiertos puede que no sea abierto, y que la unión de una familia cualquiera de cerrados, puede que no sea cerrado.

P14

Sean el espacio métrico (ℝ3,d2) y A,B ⊆ ℝ3. Si A es abierto, demuestra:
a) ∀ b∊B, A+b={x+b : x∊A} es abierto
b) A+B={x+y : x∊A, y∊B} es abierto

Temas relacionados

INDEX

  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)

Condiciones de uso

©Todo lo dicho aquí está en el Dominio público.

Obtenido de "http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/index.php?title=Ejercicios_y_problemas_sobre_conjuntos_abiertos_y_cerrados"
Herramientas personales