Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año VII
Vol. 6, Núm. 4: de octubre a diciembre de 2012 (en curso)
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Ejercicios y problemas sobre conjuntos compactos

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P1

Sea el espacio métrico (ℝ,d2). Para todos los siguientes conjuntos:
i) Halla el interior, exterior, frontera, adherencia, derivado y la isla de todos ellos.
ii) ¿Cuáles son abiertos, cuáles cerrados, cuáles acotados, cuáles compactos y cuáles conexos?
iii) Calcula el diámetro de los que sean acotados.
a) (0,1]
b) ℤ
c) ℚ
d) ℝ+
e) [0,→)
f) ℚ+
g) [0,→)∩ℚ
h) {(n+1)/n : n∊ℕ+}
i) {(n+1)/n : n∊ℕ+}∪{0}
j) {(n+1)/n : n∊ℕ+}∪{1}
k) ⋃n∊ℕ+(1/2n,1/(2n-1))
l) {x∊ℝ : x2+2 > 3x}
m) {x∊ℝ : x3 ≤ 4x2 − 3x}

P2

Demuestra que si A es acotado, entonces adh(A) es compacto.

P3

Demuestra que las esferas hueca y rellena son compactos de (ℝ3,d2).

P4

Sean (ℝ,d2) y A={(n-1,n+1) : n∊ℤ}
a) ¿Es A un recubrimiento de ℝ?
b) Caso de ser cierto a), utiliza tal hecho para demostrar que ℝ no es compacto.

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