Metáfora del hotel infinito

De Epistemowikia

Introducción

A lo largo de sus trabajos sobre teoría de conjuntos (y concretamente sobre conjuntos infinitos), George Cantor llegó a conclusiones que resultaron (y resultan) completamente chocantes para quien se enfrenta a ellas, llegando a dar la impresión de que existen contradicciones o paradojas. Incluso George Cantor llegó a sufrir depresiones y a ingresar en hospitales psiquiátricos cuando intentaba enfrentarse a estas paradojas de su trabajo.

Para hacer más accesibles las ideas de George Cantor, el matemático David Hilbert ideó un símil que facilita en gran manera el acercamiento a algunas de las paradojas con las que se había encontrado George Cantor. Ésta es la conocida como "Metáfora del hotel infinito".

La metáfora

Planteamiento

Para ponernos en situación, debemos imaginarnos que nos hallamos escuchando una conversación mantenida por dos empresarios de la hostelería. Ambos poseen un hotel con buen número de habitaciones (pongamos, por ejemplo, 1000 habitaciones) y sin embargo, año tras año se encuentran con el problema de que en temporada alta, su hotel se llena por completo y tienen que rechazar las reservas de nuevos clientes, con la pérdida de dinero que ello les supone.

Primer acercamiento: ¡Dupliquemos el número de habitaciones!

Dado que el hotel tiene, como hemos dicho, 1000 habitaciones... la primera idea que se les ocurrió a nuestros afanosos empresarios hoteleros fue duplicar dicha cantidad, con la esperanza de que 2000 habitaciones serían más que suficientes para albergar a todos los clientes que se pudieran presentar a los largo de las vacaciones. No obstante, antes de abordar la remodelación, empezaron a pensar "¿Y qué pasa si recibo 2001 reservas?" o "Aún peor, ¿Qué pasa si recibo 5000 reservas? ¿Debo resignarme a perder esos clientes?". Por supuesto, la respuesta es no.

Puesto que hay infinitos números naturales... ¡Tengamos una habitación por cada número!

Dándole vueltas a la cabeza, nuestros hosteleros cayeron en la cuenta de que, en vez de numerar las habitaciones del 1 al 2000, como estaban planteándose, podrían numerar cada habitación con uno de los números naturales... de esta manera tendrían infinitas habitaciones y por tanto, podrían dar alojamiento a infinitos huéspedes.

Ya tenemos infinitos huéspedes, ¡Y ahora llega uno nuevo!

Llegada la temporada alta, nuestros empresarios ven con regocijo que su hotel ha recibido infinitas reservas para la primera quincena de agosto... y ha podido dar respuesta afirmativa a todas ellas, tal como deseaban.

A día 12 de agosto, nuestros hosteleros se encontraban celebrando su éxito en el bar de su hotel, cuando se les presenta el conserje dispuesto a provocarles otro dolor de cabeza: las infinitas habitaciones están ocupadas por infinitos huéspedes... y ahora acaba de llegar un nuevo cliente potencial reclamando una habitación.

A los hosteleros se les cayó el mundo encima. Ya habían encontrado la manera de dar alojamiento a infinitas personas con infinitas habitaciones... ¿No podían alojar a una persona más? El conserje, que era un tipo avispado como solo los conserjes de hoteles de infinitas habitaciones pueden serlo, viendo una posibilidad de ayudar a sus jefes y ganarse su confianza, les hizo la siguiente sugerencia:

- Señores, podríamos pedir amablemente a los huéspedes que ya están alojados en el hotel que se trasladen de su habitación a la siguiente. De esta manera, todos los clientes estarán alojados en una habitación... y la habitación 1 quedará vacía.

Por supuesto, los empresarios vieron que aquélla era una gran idea y se decidieron a ponerla en práctica. La situación fue caótica durante bastante tiempo, mientras el huésped de la habitación 2 pasaba a la habitación 3, el de la habitación 3 pasaba a la habitación 4... en fin, mientras los infinitos huéspedes se cambiaban de habitación, pero finalmente todos quedaron alojados en la siguiente habitación y el servicio de limpieza pudo adaptar la habitación 1, que había quedado vacía, para el nuevo cliente.

Una vez que todo el jaleo hubo terminado, los hosteleros reanudaron su celebración, alegres de haber podido salvar la crisis con éxito. Sin embargo, no estaban tan tranquilos como podía parecer... ambos pensaban: "Tenía infinitas habitaciones ocupadas por infinitos huéspedes. Ha llegado un nuevo huésped, le he dado una habitación para él solo... y sigo teniendo infinitas habitaciones ocupadas por infinitos huéspedes".

Cuando todo parecía solucionado... ¡Llega una excursión infinita!

Estos pensamientos desde luego perturbaban su alegría... pero no por mucho tiempo, pues al poco rato se presenta de nuevo el conserje, dispuesto a no dejarles disfrutar tranquilos. Resulta que la situación ahora sí que es realmente crítica: va a celebrarse un concierto de los Rolling Stones, y acaba de llegar un avión con infinitos pasajeros que desean alojarse en el hotel. Los empresarios ya estaban bastante cansados de la situación, así que estuvieron a punto de cejar en su idea de dar alojamiento a tantas personas como llegasen. Sin embargo, si había algo que los dos compartían, aparte de la avaricia, era su pasión por Sus Satánicas Majestades. Así que se pusieron manos a la obra para ver cómo salvaban la situación.

Como el problema anterior lo habían solucionando sumando (el ocupante de la habitación N habría pasado a la habitación N + 1), se les ocurrió que bien podían solucionar este nuevo incidente... multiplicando. En efecto, llegaron a la conclusión de que si antes habían movido a los infinitos ocupantes del hotel, ahora también podían hacerlo, solo que en esta ocasión, en vez de pasar a la habitación con el número siguiente, debían pasar a la habitación con el número doble (es decir, el ocupante de la habitación 1 pasará a la 2, el ocupante de la habitación 2 pasará a la 4, el ocupante de la habitación 3 pasará a la 6... y el de la habitación N pasará a la habitación 2 * N). De esta manera, los ocupantes del hotel que ya estaban registrados pasarían a estar alojados en las infinitas habitaciones con número par del hotel... mientras que los fans de los Rollings pasarían a ocupar las infinitas habitaciones con número impar que habrían quedado vacantes gracias a la mudanza (la habitación 1, la habitación 3, la habitación 5...). Una vez tomada la decisión, mover a los huéspedes fue lo más fácil... ¡Apenas les había dado tiempo de deshacer sus maletas desde la mudanza anterior!

Y de nuevo tenemos a los dos empresarios intentando relajarse, aunque ahora la idea de "Entonces, teníamos infinitas habitaciones y huéspedes. Hemos registrado infinitos más huéspedes en otras infinitas habitaciones... y seguimos teniendo infinitos huéspedes en infinitas habitaciones" es la que se lo impedía.

¿Y qué pasa si hay infinitos infinitos nuevos huéspedes?

Por esa noche, los hosteleros durmieron con calma y tranquilidad, orgullosos de cómo iban sacando el negocio adelante. La felicidad no les duraría mucho, ya que a la mañana siguiente se encuentran con un nuevo problema: se ha convocado una convención de grupos anti-globalización y han acudido infinitas ONGs, cada una de ellas integrada por infinitos jóvenes idealistas.

Este problema claramente superaba la capacidad de nuestros pobres empresarios, por lo que decidieron pedir ayuda a los infinitos huéspedes del hotel, planteándoles el problema que tenían a través de los intercomunicadores. Como 5 o 10 minutos después, se presenta en recepción uno de los fans de los Rolling Stones, que casualmente resultaba ser también fan de Euclides.

Este amable señor recordaba haber leído en uno de los Elementos de Euclides una demostración de que existen infinitos Números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}. Además, estudiando las operaciones que se habían realizado antes con los cambios de habitación, puesto que el primer problema se había resuelto sumando y el segundo multiplicando, bien podía solucionarse este problema mediante las potencias.

De esta forma, la propuesta del huésped consistía en mudar nuevamente a los ocupantes del hotel, de manera que el ocupante de la habitación N pasaría a ocupar la habitación 2^N. Luego, a cada ONG se le asignaría uno de los infinitos Números primos mayores que 2 y a cada miembro de una ONG se le asignará un número natural. De esta forma, los miembros de la primera ONG ocuparán las habitaciones , los miembros de la segunda ONG ocuparán las habitaciones ... como hay infinitos Números primos y también hay infinitas potencias de Números primos, ¡Podemos alojar a todos los infinitos integrantes de las infinitas ONGs!

¡Hay espacio de sobra!

De nuevo, nuestros hosteleros empezaron a comerse la cabeza pensando que habían construido un hotel con infinitas habitaciones, habían alojado en él infinitas personas y luego habían alojado, con el hotel lleno a infinitos grupos cada uno de infinitas personas... sin embargo, esta vez, para rizar el rizo, el fan de Euclides les hizo ver que existían infinitas habitaciones libres: nadie se alojaba en la habitación 6 (6 = 2 * 3) ni en la habitación 10 (10 = 2 * 5) ni en la habitación 14 (14 = 2 * 7)... ni en ninguna de las infinitas habitaciones que eran producto de dos Números primos, ya que estos números no son potencias de un número primo... y por lo tanto no le corresponden a nunguna ONG.

Así que además de haber alojado infinitos grupos de infinitas personas en un hotel con infinitas habitaciones ocupadas por infinitas personas... quedaban infinitas plazas vacantes.

Fuentes

"Hotel infinito", artículo de Wikipedia.

"El gran hotel Cantor", artículo divulgativo escrito por Juan Manuel Ruisánchez Serra.

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