| Epistemowikia Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber Segunda Época, Año VII Vol. 6, Núm. 4: de octubre a diciembre de 2012 (en curso) | Epistemowikia es parte de
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Número natural
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Definición
Entendemos por conjunto de números naturales, el que está formado por aquellos números cuya utilidad más básica es contar. Algunos autores argumentan que si no hay nada que contar, entonces no hay necesidad de números para contar; esto es, ven al cero como un número artificial, no natural. Nosotros no entraremos en esa polémica. No obstante, nos parece que el cero surge de la necesidad de comunicar que no tenemos de algo que nos preguntan, por ejemplo, si alguien me preguntase, ¿cuántos aviones tengo?, tendría que decirle que ninguno, aunque también podría responder «3 menos 3», pero tanto si digo una cosa u otra, estoy diciendo cero.
Por el conjunto ℕ, entenderemos {0, 1, 2, .....}, mientras que ℕ* será ℕ\{0}. También es frecuente la notación ℕ0, que indica ℕ∪{0}.
Aunque Richard Dedekind intentó fundamentar los números naturales, basándose en las ideas de la teoría de conjuntos que por aquél tiempo desarrollaba George Cantor, no fue sino Giuseppe Peano (1858-1932), en 1889, quien proporcionó una definición axiomática del conjunto de números naturales. Lo hizo mediante cinco axiomas, utilizando tres conceptos primitivos, «cero», «número» (número natural o entero no negativo) y la relación binaria «ser sucesor de» (o «siguiente a») (cfr. Axiomas de Peano).
El concepto ne sucesor es importantísimo. Euclides demostró que hay infinitos números naturales. No es difícil, si pensamos en uno, llamémosle n, entonces, siempre hay uno mayor, su sucesor (n + 1). De hecho, si un conjunto es tal que el sucesor de cada elemento está perfectamente definido y sus elementos pueden enumerarse comenzando en uno de ellos, entonces puede establecerse una biyección entre él y ℕ (se dice que es un conjunto numerable).
Un número natural también puede definirse como el cardinal de un conjunto finito.
Suma y producto de números naturales
Con base en los axiomas de Peano, y en particular, a partir de los conceptos de cero y sucesor, es posible definir la suma y el producto de números naturales, como una función o relación que asocia a cada pareja de números naturales, (n,m), otro número natural que notamos por n+m y n·m, respectivamente.
Así, la suma:
∀a,b∈ℕ:
(s.1) a + 0 = a
(s.2) a + suc(b) = suc(a + b), es decir, a + (b + 1) = (a + b) + 1
y el producto:
∀a,b∈ℕ:
(p.1) a · 1 = a
(p.2) a · suc(b) = a·b + a, es decir, a · (b + 1) = (a·b) + a
que son operaciones internas, esto es, el resultado de sumar o multiplicar dos números naturales es un número natural.
Estas definiciones son implícitas, de tipo inductivas, de forma, que para conocer la suma de dos números naturales hay que proceder del siguiente modo, para así, conocer la suma a+(b+1), en función de la suma (a+b) (análogamente para el producto):
a + 1 = a + suc(0) = suc(a + 0) = suc(a)
a + 2 = a + suc(1) = suc(a + 1)
a + 3 = a + suc(2) = suc(a + 2)
...
a + (b + 1) = a + suc(b) = suc(a + b)
Observemos que a partir de la definición de suma obtenemos, lógicamente, que a+1=suc(a), a+2=suc(a+1), ... Para lo cuál, lo único que hay que asegurar es que 1=suc(0).
Ciertas propiedades de la suma y el producto de números naturales
A partir de los axiomas de Peano y de las anteriores definiciones inductivas, se demuestran algunas propiedades básicas de + y ·:
∀a,b,c∈ℕ:
| a + (b + c) = (a + b) + c | (asociativa) | a · (b · c) = (a · b) · c |
| a + b = b + a | (conmutativa) | a · b = b · a |
| a + 0 = a | (neutro) | a · 1 = a |
| a + c = b + c entonces a = b | (cancelación) | c0 entonces (ac = bc entonces a = b) |
| a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc (distributiva de · respecto de +) | ||
El 0, elemento neutro para +, es absorbente para ·, esto es, ∀a∈ℕ: a · 0 = 0.
Ordenando los números naturales
Definimos dos relaciones binarias en ℕ, ≤ que se lee “menor o igual”, y <, que leeremos “menor” o “menor estricto”, definidas por:
(∀ a,b∈ℕ) (a ≤ b ↔ (∃ c∈ℕ) (a+c = b))
(∀ a,b∈ℕ) (a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b)),
o lo que es lo mismo,
(∀ a,b∈ℕ) (a ≤ b ↔ (∃ c∈ℕ, a + c = b)
(∀ a,b∈ℕ) (a < b ↔ (∃ c∈ℕ*, a + c = b).
Orden parcial estricto
< es un orden parcial estricto.
En efecto, trivialmente puede demostrarse que < es transitiva y antirreflexiva.
Orden total
Con respecto a este orden, el habitual, el conjunto de los números naturales está totalmente ordenado, este es, dados dos números naturales cualesquiera, distintos, siempre podremos decir cuál es mayor que el otro:
(∀ a,b∈ℕ) (a ≤ b ∨ b ≤ a) (conexión)
Monotonía
≤ es monótona respecto de + y ·, esto es, ∀ a,b,c∈ℕ:
- a ≤ b ↔ a+c ≤ b+c
- c > 0 → (a ≤ b ↔ ac ≤ bc)
En efecto, [→]: Es claro que a=b → a+c=b+c ∧ ac ≤ bc. Si a < b, entonces, existe d∈ℕ*, tal que a+d=b, por lo que, b+c = (a+d)+c = a+(d+c) =a+(c+d) = (a+c)+d, y por tanto, a+c < b+c; análogamente, bc = (a+d)c = ac+dc, de donde, ac < bc. [←]: El enunciado contrapositivo de esta afirmación es a > b → a+c > b+c, que se demuestra de manera similar al caso anterior, a < b. El razonamiento para el producto es análogo.
Buen orden
≤ es un buen orden en ℕ, esto es, todo subconjunto no vacío de ℕ tiene primer elemento (mínimo).
En efecto, razonemos por reducción al absurdo. Sea A un subconjunto propio no vacío de ℕ, sin primer elemento; demostremos que, entonces, A=∅ (he ahí el absurdo: A≠∅ ∧ A=∅). Sea B = {n∈ℕ*: (∀a∈A) (n ≤ a)}, y demostremos que A ∩ B = ∅ y que B=ℕ, de forma que A ∩ ℕ = ∅ y como A ⊂ ℕ, conluimos que A = ∅. Pues bien, A ∩ B = ∅, por que si existiese n∈A∩B, entonces, por definición de B, (∀a∈A) (n ≤ a) y como además, n∈A, n sería el primer elemento de A, en contra de la hipótesis. Por otro lado, B=ℕ, pues, evidentemente, 0∈B y si n∈B, veamos que suc(n)∈B: si n∈B, entonces, como A no tiene primer elemento, (∀a∈A) (n < a), por lo que (∀a∈A) (∃m∈ℕ*) (n+m=a); tenemos, por tanto, (∀a∈A) (suc(n) = n+1 ≤ n+m = a), o sea, suc(n)∈B.
Ecuaciones con argumentos naturales y soluciones naturales
La ecuación a + x = b tiene solución si y sólo si a ≤ b.
(La demostración es directa a partir de la definición de ≤).
Diferencia de números naturales
Para todos a,b∈ℕ, se denomina diferencia de b y a, «b menos a» y notamos b-a, a la solución de la ecuación anterior.
Estructura algebraica de ℕ
- Las estructuras (ℕ, +, ≤) y (ℕ, ·, ≤) son monoides conmutativos ordenados.
- La estructura (ℕ, +, ·, ≤) es un semianillo unitario conmutativo ordenado.
(Las propiedades estudiadas más arriba lo demuestran).
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- EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)
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© Juan Miguel León Rojas, 2008. Manifiesta la reserva de derechos de los autores, cedentes y herederos, caso de haber usado contenidos de terceros, por favor, siéntete libre para copiar, distribuir y comunicar públicamente esta obra, y para hacer obras derivadas, siempre que reconozcas mi autoría, sólo explotes la obra (y sus obras derivadas) mediante préstamo gratuito o donación de ejemplares («gratis lo recibisteis, dadlo gratis», Mt 10, 8), e incluyas este aviso legal en toda copia parcial o total de la obra original y de toda obra derivada.
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