Epistemowikia Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber Segunda Época, Año VII Vol. 6, Núm. 4: de octubre a diciembre de 2012 (en curso)	Epistemowikia es parte de CALA → ALA | Communitas | Evolvere Editio | Epistemowikia | Exercitatio | Fictor | Flor

Inicio | La revista | Índex | Hemeroteca | Búsquedas | Quiénes somos | Contacto | Publica

De Epistemowikia

Teoría de los anillos

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones, suma y multiplicación, que no deben poseer necesariamente todas las condiciones requeridas para definir una estructura de campo. En concreto, no se pide que todo elemento no nulo de un anillo tenga inverso multiplicativo. Si consideramos la estructura de campo como una abstracción de las propiedades del conjunto de los números racionales, entonces podemos considerar la estructura de anillo como una abstracción de las propiedades del conjunto de los enteros. En este capitulo presentamos la teoría elemental de los anillos en el caso en que tienen elemento unidad. Nuestro propósito al hacerlo así es establecer de forma propiamente abstracta los teoremas de gactorizacion única. Para demostrar la utilidad de este empeño, aplicaremos la teoría al caso particular del ultimo teorema de Fermat[1].

Definición de la estructura de anillo

Un anillo es un grupo aditivo abeliano con una operación (que representaremos de forma multiplicativa y llamaremos producto interno del anillo) que asigna a cada par ordenado (a,b) de elementos de R un elemento ab de R de tal forma que:

1) la multiplicación es distributiva con respecto a la suma ; es decir, cualesquiera que sean los elementos a, b, c ∈ R:

a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc;

2) es asociativa; es decir, dados tres elementos cualesquiera a, b, c ∈ R

a(bc)=(ab)c

3) es conmutativa, es decir, para cada par de elementos a, b ∈ R,

ab=ba;

4) existe un elemento unidad 1 ∈ R tal que 1a=a=a1 para todo a ∈ R.

Observación. Por lo general, se consideran suficientes las condiciones 1) y 2) para definir una estructura de anillo, En caso que un conjunto satisfaga todas las propiedades de la definición anterior se denomina anillo conmutativo con elemento unidad. Nuestro estudio sobre la teoría de los anillos ee limitara a tales anillos, y emplearemos la definición anterior evitando la molesta repetición de la frase “anillo conmutativo con elemento unidad”

El elemento identidad de la suma de un anillo se llama cero y se escribe 0. El elemento identidad de la multiplicación se llama unidad y se escribe 1. El inverso respecto a la suma se un elemento a se escribe -a. Es evidente que 0a=0 y (-1)a= -a para cualquier elemento a del anillo.

Un conjunto formado por un solo elemento tiene unas operaciones únicas, suma y producto, baja las cales es un anillos. Tales anillos se denomina triviales o nulos. Escribimos R=0 para indicar que un anillo R es trivial. En un anillo 1=0, es decir, la unidad y el cero coinciden, Un anillo no trivial debe contener algún elemento no nulo a, y puesto que 1a=a≠ 0=0a, deducimos que 1≠ 0. Resumiendo: un anillo es trivial si y solo si la unidad es cero.

En un anillo no trivial un elemento no nulo a puede tener un inverso multiplicativo, es decir, puede existir un elemento a -1 tal que aa-1=1a-1a. Este elemento se denomina unitario del anillo, Evidentemente el conjunto de unitarios en un anillo forma un grupo respecto a la operación producto del anillo, y este grupo se denomina grupo de unitarios del anillo. Un elemento no nulo que no tiene inverso multiplicativo se llama elemento propio. Así, pues, los elementos de cualquier anillo se dividen en tres clases: el cero, los unitarios y los elemento propios.

Un campo es, precisamente, un anillo no trivial en el que todo elemento no nulo es unitario, o también, un campo es un anillo no trivial din elementos propios. Si hubiésemos definido la estructura de anillo antes de conceptuar los campos, podríamos considerar esta definición como la de estructura de campo

En un anillo R las siguientes condiciones son equivalentes entres si:

1. si a, b ∈ R y ab=0, entonces a=0 ó b=0;

2. si a, b ∈ R y a≠0 entonces ab=ac implica que b=c;

3. el conjunto R* de elementos no nulos de R es cerrado respecto a la multiplicacion, es decir, a, b ∈ R* implica que ab ∈ R.

Si un anillo satisface una de estas condiciones, y, en consecuencia, todas ellas, se llama dominio de integridad. Evidentemente, un campo es un dominio de integridad. Un elemento a de un anillo R es un divisor de cero si ab=0 para algun elemento b no nulo que pertenezca a R, Podemos tomar la definición: Un dominio de integridad es un anillo que no tiene divisores de cero (salvo el propio 0).

El ejemplo mas importante de dominio de integridad es el anillo de los enteros Z. Los subanillos del campo de los numeros complejos C, forman una clase particularmente imortante de ejmplos, que llamaremos dominios numericos. Es evidente que todo campo numerico es un dominnio numerico.

El anillo de los enteros módulo n

Sabemos ya que Zn , el conjunto e las clases de congruencia módulo n, es un grupo abeliano respecto a la suma [a]n +[b]n=[a+b]n . Para n=1, Zn es un grupo trivial. Si n>1 y definimos la multiplicacion en Zn por [a]n [b]n=[ab]n , entonces Zn es un anillo. Recordemos que Zn es un campo si n es primo. Si n no es primo; es decir, n=ab, entonces [a]n ≠0≠[b]n , pero [ab]n =[n]n=[0]n. Asi, pues, para n no primo Zn tiene divisores de cero, y no es un campo ni tampoco un dominio de intefridad, El razonamiento demuestra que el grupo de las unidades de Zn es precisamente el grupo Z´n.

El anillo de los enteros gaussianos. Definimos Z(i) como el conjunto de numeros complejos a+bi, en donde a y b son enteros. Z(i) es un anillo respecto a las habituales operaciones de suma y multiplicacion de numeros complejos. Los elementos de Z(i) se denominan enteros gaussianos en la matematica porterior a Gauss, quien los estudio por primera vez como una generalizacion de los enteros ordinarios. Puesto que Z(i) es un subanillo de campo Q(i), no tiene divisores de cero. En otras palabras, Z(i) es un dominio de integridad. Adviertase que los unitari[os de Z(i) son ±1 y ±i.

Anillos de Kummer

Sea p un numero primo y representemos 1,ξ ,ξ2,..., ξp-1 a las raices p-ésimas de la unidad con ξ = e1π i/p. Llamaremos Z(ξ) al menor subanillo de C que contiene a todos los elementos de Z y a ξ. Se ve de inmediato que Z(ξ) contiene todos los numeros complejos, que se escriben de la forma:

a0+a1ξ+...+a p-1 ξp-1

donde a0+a1ξ+...+ a p-1 ∈ Z. Puesto que Z(ξ) ⊂ Q (ξ), de aquí se deduce que Z(ξ) es un dominio de integridad. Es fácil ver que los numeros ±1,±ξ,...,± ξp-1 son unitarios de Z(ξ), pero al llegar a este 0punto ya no se distingue con tanta facilidad si existen otros mas. Decimos que Z( ξ) es un anillos de Kummer en memoria del matemático E.E Kummer (1810-1893), quien estudió el problema de la factorización única de estos dominios.

Anillos de polinomios

El conjunto de los polinomios de variable x con coeficientes en un anilllo R cualquera, es un anillo respecto de las operaciones ususales de suma y multiplicacion al que llamaremos R[x]. Para precisar mejor el concepto de R[x], damos la siguiente definición formal.

Llamamos Ñ al conjunto de los enteros no negativos {0,1,2,3,...}. Un polinomio F sobre el anillo R es una aplicación f:Ñ→ R que toma siempre el valor 0 salvo para un numero finito de elementos de Ñ. Denotaremos por fk el valor de f para k ∈ Ñ. Denotaremos por fk el valor de f para k ∈ Ñ (por supuesto, consideramos implícitamente que f es de la forma f0+ f1x+f2x2+f 3x3+...+f nxn con fk=0 para k>n). Entonces, R[x] es el conjunto de todos los polinomios de este tipo sobre R. La suma y la multiplicacion de los elemento de R se define por:

(f+g)k=fk+ gk y (fg)k = Σki=0 figk-i

Si f ∈ R[x]y fk =0 para todo K ∈ Ñ, escribimos f=0. Si f≠0, entonces podemos definir el grado de f por grad f = máx { k ∈ Ñ | fk ≠ 0}. Para terminar, observamos que podemos identificar R con un subanillo de R[x] haciendo corresponder a ∈ R a f ∈ R[x], donde f0 = a y fk =0 para k>0. Esta definición de R[x] tiene la ventaja de que sus elementos aparecen como objetos genuinamente matemáticos y no como “expresiones de la forma...”. También tiene la ventaja de conseguir definiciones explícitas de las operaciones de suma y multiplicación. Por otra parte, todo lo anterior se generaliza con facilidad a polinomios de varias variables: un polinomio de n variables sobre R es simplemente una aplicación

f: Ñ x … (n) … x Ñ → R

que toma simple el valor 0, excepto para un numero finito de elementos de su dominio. Por otra parta, existe el inconveniente de que esta definición formal de R[x] es independiente de la variable x. Otra dificultad es que, a causa de la costumbre, no nos es fácil imaginar un polinimio sobre R como una aplicación de Ñ en R. Prescindiendo de la forma en la que se ha definido R[x], podemos definir el anillo de los polinomios de dos o mas variables sobre R por el método de inducción mediante R[x1x2]=(R[x1 ])[x2] y continuar asi en lo sucesivo.

Para saber más: http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_polinomios

Bibliografía:

-Elementos del álgebra abstracta. Autor: A.Clark

-http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Kummer

-http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

-http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_polinomios

Licencia

	Los contenidos de esta página están publicados con la licencia GNU Free Documentation License 1.2 (GNU FDL 1.2), sin secciones invariantes, sin textos en portada ni contraportada. Puedes consultar una traducción no oficial aquí. Los autores de esta obra están de acuerdo en su relicenciamiento a: «GNU FDL 1.3, o posterior», sin secciones invariantes, sin textos en portada ni contraportada.