Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año VII
Vol. 6, Núm. 4: de octubre a diciembre de 2012 (en curso)
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Teorema del valor medio

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Funciones reales de una variable real

Enunciado

Sean a,b \in \mathbb{R} con a < b. Sea f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces \exists c\in (a,b) tal que \frac{f(b) - f(a)}{b-a}=f'(c).

Ejemplo

Demostrar que: 6 + \frac{1}{14} < \sqrt{37} < 6 + \frac{1}{12}

En efecto, sea f(x)=\sqrt{x}, que es continua en \mathbb{R} y derivable en \mathbb{R}^* y por tanto continua en el intervalo [36,37] y derivable en (36,37), cumpliéndose las hipótesis para poder aplicar el teorema del valor medio a dicha función en dicho intervalo. La tesis de este teorema asegura la existencia de c\in (36,37) tal que \frac{\sqrt{37} - \sqrt{36}}{37-36}=\frac{1}{2\sqrt{c}}

como:

36 < c < 37 \Rightarrow \sqrt{36} < \sqrt{c} < \sqrt{37} \Rightarrow 2\sqrt{36} < 2\sqrt{c} < 2\sqrt{37}

y:

\sqrt{37} < \sqrt{49}

entonces:

2\sqrt{36} < 2\sqrt{c} < 2\sqrt{49}

de donde:

\frac{1}{2\sqrt{49}} < \frac{1}{2\sqrt{c}} < \frac{1}{2\sqrt{36}}

sustituyendo:

\frac{1}{2\sqrt{49}} < \frac{\sqrt{37} - \sqrt{36}}{37-36} < \frac{1}{2\sqrt{36}}

es decir:

\frac{1}{2\sqrt{49}} < \sqrt{37} - 6 < \frac{1}{2\sqrt{36}}

en definitiva:

6+\frac{1}{14} < \sqrt{37} < 6+\frac{1}{12}

Funciones reales de variable vectorial real

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  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)

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